一个数学小魔术的证明

⑴ 让对方随便写一个五位数(五个数字不要都相同的)
⑵ 用这五位数的五个数字再随意组成另外一个五位数
⑶ 用这两个五位数相减(大数减小数)
⑷ 让对方想着得数中的任意一个数字,把得数的其他数字(除了对方想的那个)告诉你
⑸ 表演者只要把对方告诉你的那几个数字一直相加到一位数,然后用9减就可以知道对方想的是什么数了

例:五位数一:57429;五位数二:24957;相减得:32472;
心中记住:7;余下的告诉表演者:3242;
表演者:3+2+4+2=11;1+1=2;9-2=7(既对方心中记住的那个数了)

觉得挺有意思,然后就证明了一下。

小学时候说过,一个整数如果是9的倍数,当且仅当它的各位数的和也是9的倍数。稍微扩展一下,如果一个整数整除 9 的余数是r,当且仅当它的各位数的和整除 9 的余数是也是r。先证明一下。

必要性:
n = d1 + 10×d2 + 100×d3…… = Σ(10i×di)         (1)

9k + r = d1 + d2 + d3 …… = Σdi                         (2)
(1) – (2) 得
n – 9k – r = Σ((10i-1 – 1)×di),n = Σ((10i-1 – 1)×di) + 9k + r

∵ 10i – 1 = (10 – 1)(10i-2 + 10i-3 + 10i-4 + ….)
∴ n = 9×(Σ(10i-2×di) + k)  + r 即 n 整除 9 的余数是 r

充分性:
n = 9k + r = d1 + 10×d2 + 100×d3…… = Σ(10i×di)
9k + r = Σdi + Σ((10i-1 – 1)×di)
Σdi = 9k + Σ((10i-1 – 1)×di) + r = 9k + 9×Σ(10i-2×di) + r = 9(Σ(10i-2×di) + k) + r

即 Σdi 整除 9 的余数是 r 。

然后证明任意两个所有位数相同的十进制数的差是 9 的倍数。

∵ 两个数各位数字都相同,
∴ 各位数字的和也相同,
∴ 各位数字的和与9的余数也相同,
∴ 这两个数字整除 9 的余数相同,
∴ 这两个数字的差是 9 的倍数。

两个9的倍数的差也是9的倍数

去掉一个数字后,各位数的和为 9k – d,整除 9 的余数是 9 – d。

∵ 各位数的和为 9k + (9 – d)
∴ 各位数的和的各位数的和整除 9 的余数也是 9 – d。
∴ 最终的结果整除 9 的余数也是 9 – d。

其实从证明过程也可以看出,其实不管几位数都是可以的,不一定要 5 位数。

 

6 thoughts on “一个数学小魔术的证明

  1. 问天

    我发现同时出现0和9时,容易出现错误,例:数字1 ,76554433 数字2,75564433 相减得,990000,心里记下0,剩下99000,计算9+9=18,1+8=9,9-9=0,得出是0;心里记下9,剩下90000,计算9+0+0+0+0=9,9-9=0,得出是0,而不是9.
    是不是我的例子有什么特殊性,求楼主解答。

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  2. 很久以前也做过类似的题…什么怎么变怎么变最后数字不变啦之类的。总归都是可以证明出来的。
    不过…那总是高中生大学生干的事情。

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